Question

【题目】如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度均为，点沿运动，到点停止，点沿运动，到点停止后继续运动，到点停止，连接，，．设的面积为（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为．

填空：________，与之间的距离为________；

当时，求与之间的函数解析式；

直接写出在整个运动过程中，使与菱形一边平行的所有的值．

Answer 1

【答案】(1)5, ;(2) y=;(3) 或．

【解析】

（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．
（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：
①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；
②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；
③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：
①若PQ∥CD，如答图2-1所示；
②若PQ∥BC，如答图2-2所示．

：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB==5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S=ABh，
又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×ACBD=×6×8=12，
∴ABh=12，
∴h==．
（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=，cosθ=．
①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．
∵PB=x，
∴PC=BC-PB=5-x．
过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PCcosθ=（5-x）．
∴y=S△APQ=QAPH=×3×（5-x）=-x+6；
②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．
PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．
过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PDsinθ=（10-x）．
∴y=S△APQ=S菱形ABCD-S△ABQ-S四边形BCPQ-S△APD
=S菱形ABCD-S△ABQ-（S△BCD-S△PQD）-S△APD
=ACBD-BQOA-（BDOC-QDPH）-PD×h
=×6×8-（9-x）×3-[×8×3-（x-1）

（10-x）]- （10-x）×
=-x2+x-；

③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．
y=S△APQ=AB×h=×5×=12．
综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：
y=．
（3）有两种情况：
①若PQ∥CD，如答图2-1所示．
此时BP=QD=x，则BQ=8-x．
∵PQ∥CD，
∴ ， 即,
∴x=；
②若PQ∥BC，如答图2-2所示．
此时PD=10-x，QD=x-1．
∵PQ∥BC，
∴ ，
即，
∴x=．
综上所述，满足条件的x的值为或．