Question

如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为∠OBE角平分线上一点，连接OF、AF，G为BE上一点且BO=BG．
（1）若GF⊥OF，OF=1，求线段OG的长度；
（2）若∠AFB=90°，求证：AF=BF+OG．

Answer 1

解：（1）∵BF平分∠DBE，
∴∠OBF=∠EBF．
∵在△OBF和△GBF中
，
∴△OBF≌△GBF（SAS），
∴OF=FG．
∵GF⊥OF，
∴∠GFO=90°．
∵OF=1，
∴OF=FG=1．
在Rt△OFG中，由勾股定理，得
OG==；

（2）在线段AF上取一点M，使AM=BF，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF+∠ONA=90°．
∵∠AFB=90°，
∴∠FNB+∠OBF=90°．
∵∠ONA=∠FNB，
∴∠OAM=∠OBF．
∵在△AOM和△BOF中
，
∴△AOM≌△BOF（SAS），
∴OM=OF，∠AOM=∠BOF．
∵∠AOM+∠MON=90°，
∴∠BOF+∠MON=90°
即∠MOF=90°．
∴∠OFM=45°，
∴MF=OF，
∴∠BFO=∠OFM+∠AFB=135°．
∵△OBF≌△GBF，
∴∠BFG=∠BFO=135°，OF=GF．
∴∠OFG=360°-∠BFO-∠BFG=90°，
∴OG=OF，
∴OG=MF．
∵AF=AM+MF，
∴AF=BF+OG．
分析：（1）由BF平分∠DBE可以得出∠OBF=∠EBF，再有BO=BG，故可以得出△OBF≌△GBF从而得出OF=FG最后利用勾股定理就可以求出结论；
（2）先在线段AF上取一点M，使AM=BF，连接OM，根据正方形的性质可以得出△AOM≌△BOF，由全等三角形的性质可以得出△OMF是等腰直角三角形，可以得出MF=OF，根据△OBF≌△GBF可以得出△OGF是等腰直角三角形，就有OG=OF，进而可以得出结论．
点评：本题考查了角平分线的性质的运用，正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定的及性质的运用，在解答的过程中作辅助线是难点，证明三角形全等是关键．