Question

7．如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM为多少时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 由正方形的性质和勾股定理求出DE，分CM与AE和AD是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM即可．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，
∴∠A=90°，AB=AD=2，AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
分两种情况：
①CM与AE是对应边时，△AED∽△CMN，
∴$\frac{CM}{AE}=\frac{MN}{DE}$，即$\frac{CM}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得：CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
②CM与AD是对应边时，△AED∽△CNM，
∴$\frac{CM}{AD}=\frac{MN}{DE}$，即$\frac{CM}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得：CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
综上所述：当CM为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．