Question

 (1)如图(1)，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.易知DE=BD+CE. 若将条件改为：如图(2)，在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(2) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试推理△DEF的形状. （2013年山东东营第23题改编）

 

Answer 1

证明：(1)∵∠BDA =∠BAC=_，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—

∴∠DBA=∠CAE

∵∠BDA=∠AEC=_，AB=AC

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（2）由（1）知，△ADB≌△CEA，

BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均为等边三角形

∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

∴∠DBF=∠FAE

∵BF=AF

∴△DBF≌△EAF

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF为等边三角形.