[题目]如图.在ABCD中.AE⊥BC于点E.延长BC至点F使CF＝BE.连结AF.DE.DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形,(2)若AB＝6.DE＝8.BF＝10.求AE的长．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连结AF，DE，DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．

（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．

试题解析：（1）证明：∵CF=BE，

∴CF+EC=BE+EC．

即EF=BC．

∵在ABCD中，AD∥BC且AD=BC，

∴AD∥EF且AD=EF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEF=90°．

∴四边形AEFD是矩形；

（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，

∴AF=DE=8．

∵AB=6，BF=10，

∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．

∴∠BAF=90°．

∵AE⊥BF，

∴△ABF的面积=ABAF=BFAE．

∴AE=．

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（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣= ；

另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣= ；

你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离.

(2)小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣= ；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.