Question

已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．
（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为：

∠ACB-∠B=2∠EAD

．
（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）先求出∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC=90°，则根据三角形内角和定理得出∠ACB=90°-∠B，故求出∠B的度数即可．而在直角△ABD中，∠B=90°-∠BAD=30°；
（2）由（1）的计算发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为：∠ACB-∠B=2∠EAD；
（3）先根据三角形内角和定理及垂直的定义，得出∠ACB-∠B=∠BAD+∠CAD，再由角平分线的定义得出结论∠ACB-∠B=2∠EAD．

解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠EAD=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=90°．
∵AD⊥BC，∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°；

（2）∵（1）中∠EAD=15°，∠ACB-∠B=60°-30°=30°，发现∠ACB-∠B=2∠EAD，
∴推测∠ACB-∠B=2∠EAD；

（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立．
理由如下：
∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，
∴∠ACB-∠B=90°+∠CAD-（90°-∠BAD）=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠EAD-∠CAE，
∴∠ACB-∠B=2∠EAD+∠BAE-∠CAE=2∠EAD．

点评：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线、垂直的定义及角的和差，属于基础题型，难度中等．