Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABCD的周长为8.

【解析】试题分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．

(2) 由△CBF≌△CDF，可知，∠BCF=∠DCF，又CB=CD，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积.

试题解析（1）证明：在△ABC和△ADC中， ，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和△ADF中， ，

∴△CBF≌△CDF（SAS）

（2）∵△CBF≌△CDF，

∴∠BCF=∠DCF，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB=，

∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．