Question

14．如图，直线y=x+n与x轴交于点A，与y轴交于点B（点A与点B不重合），抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+c经过点A、B，抛物线的顶点为C．
（1）∠BAO=45°；
（2）求tan∠CAB的值；
（3）在抛物线上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求直线AB与两坐标轴的交点坐标，得OA=OB，可得结论；
（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，证明∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，利用勾股定理计算BC和AB的长，根据正切的定义代入求值即可；
（3）分两种情况：①当点P在CA左侧时，如图2，延长BD交抛物线于点E，此时，点P与点E重合，点P的坐标是（-4，6）；
②当点P在CA右侧时，如图3，作辅助线，直线CF与抛物线的交点就是P点．

解答 解：（1）y=x+n，
当x=0时，y=n，则B（0，n），
当y=0时，x=-n，则A（-n，0），
∴OA=OB=n，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
故答案为：45；

（2）由（1）得：B（0，n），A（-n，0），
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+c经过点A、B
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}{n}^{2}+2n+c}\\{c=n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{c=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{c=0}\end{array}\right.$（舍去）
∴A（-6，0），B（0，6），直线AB的解析式为：y=x+6，
抛物线为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+6=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+8，
∴抛物线的顶点为C（-2，8），
设抛物线的对称轴为直线l，连结BC，
如图1，过点B作BD⊥l，则BD=CD=2，BD∥x轴，
∴∠CBD=45°，
又BD∥x轴，
∴∠DBA=∠BAO=45°，
∴∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，
在Rt△CDB中，BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$；

（3）①当点P在CA左侧时，如图2，
延长BD交抛物线于点E，当∠PCA=∠BAC时，CP∥AB，
此时，点P与点E重合，点P的坐标是（-4，6）；
②当点P在CA右侧时，如图3，过点A作AC的垂线交CP于点F，
过点A作y轴的平行线m，过点C作CM⊥m，过点F作FN⊥m，
由于tan∠BAC=$\frac{1}{3}$，所以tan∠ACF=tan∠ACP=$\frac{1}{3}$，
∵Rt△CMA∽Rt△ANF，
∴$\frac{AN}{CM}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{NF}{MA}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，AN=$\frac{1}{3}$CM=$\frac{4}{3}$，NF=$\frac{1}{3}$MA=$\frac{8}{3}$，
∴F（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{4}{3}$）；
易求得直线CF的解析式为：y=7x+22，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=7x+22}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，消去y，得x²+18x+32=0，
解得x=16或x=-2（舍去），
因此点P的坐标（-16，-90）；
综上所述，P的坐标是（-4，6）或（-16，-90）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了字母系数的函数解析式、与坐标轴的交点、三角函数、三角形相似的性质和判定，并采用了分类讨论的思想解决第3个问题，本题若想求角的度数和三角函数值，需求出函数与两坐标轴的交点坐标，写出对应边的长度，从而解决问题．