Question

1．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x²-12x+k=0的两个根，则k的值是36．

Answer 1

分析 分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑，当3为等腰三角形的腰时，将x=3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△=144-4k=0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．

解答 解：当3为等腰三角形的腰时，将x=3代入原方程得9-12×3+k=0，
解得：k=27，
此时原方程为x²-12x+27=（x-3）（x-9）=27，
解得：x₁=3，x₂=9，
∵3+3=6＜9，
∴3不能为等腰三角形的腰；
当3为等腰三角形的底时，方程x²-12x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（-12）²-4k=144-4k=0，
解得：k=36，
此时x₁=x₂=-$\frac{-12}{2}$=6，
∵3、6、6可以围成等腰三角形，
∴k=36．
故答案为：36．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．