Question

11．若抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n）．
（1）写出b与c之间的数量关系；
（2）求n的值．

Answer 1

分析 （1）由“抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=-$\frac{b}{2}$时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c；
（2）根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（-$\frac{b}{2}$-3，n），B（-$\frac{b}{2}$+3，n）；由二次函数图象上点的坐标特征知n=（-$\frac{b}{2}$-3）²+b（-$\frac{b}{2}$-3）+c=-$\frac{1}{4}$b²+c+9，把b²=4c代入即可求得n的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当x=-$\frac{b}{2}$时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c．
（2）∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线x=-$\frac{b}{2}$对称，
∴A（-$\frac{b}{2}$-3，n），B（-$\frac{b}{2}$+3，n）
将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（-$\frac{b}{2}$-3）²+b（-$\frac{b}{2}$-3）+c=-$\frac{1}{4}$b²+c+9
∵b²=4c，
∴n=-$\frac{1}{4}$×4c+c+9=9．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系；难度适中．