Question

【题目】 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，且AB＝BC＝4，AD＝2，点E是边BC上的一个动点，EF⊥BC交AD于点F，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3，则BE的长为（　　）

A.或B.C.D.或4+

Answer 1

【答案】A

【解析】

如图1，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB′GDF，推出四边形ABEF是矩形，得到AB=EF=4，AF=BE，根据折叠的性质得到A′F=AF，B′E=BE，A′B′=AB=4，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据相似三角形的性质得到B′G=4（2-x），根据题意列方程得到[（2-x）+（4-x）]×4（4-2x）（8-4x）=3此方程无实数根，故这种情况不存在；如图2，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A′B′EF，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据题意列方程得到BE=；如图3，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为△CEG，设BE=x，则AF=A′F=B′E=x，根据相似三角形的性质得到EG=2（4-x），根据题意列方程得到结论．

解：如图1，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为五边形EB′GDF，

∵AB⊥AD，AD∥BC，EF⊥BC，

∴四边形ABEF是矩形，

∴AB＝EF＝4，AF＝BE，

∵将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，

∴A′F＝AF，B′E＝BE，A′B′＝AB＝4，

设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，

∴DF＝2﹣x，CE＝4﹣x，

∴A′D＝2x﹣2，CB′＝4﹣2x，

∵A′D∥B′C，

∴△A′DG∽△B′CG，

∴

∴，

∴B′G＝4（2﹣x），

∵两边重叠部分的面积为3，

∴ [（2﹣x）+（4﹣x）]×4﹣（4﹣2x）（8﹣4x）＝3

此方程无实数根，故这种情况不存在；

如图2，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为矩形A′B′EF，

设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，

∵两边重叠部分的面积为3，

∴B′EA′B′＝4x＝3，

解得：x＝，

∴BE＝；

如图3，将四边形ABCD沿EF所在直线折叠，两边重叠部分为△CEG，

设BE＝x，则AF＝A′F＝B′E＝x，

∴DF＝x﹣2，CE＝4﹣x，

∵DF∥CE，

∴△DFG∽△CEG，

∴

∴，

∴EG＝2（4﹣x），

∵两边重叠部分的面积为3，

∴×2（4﹣x）（4﹣x）＝3，

解得：x＝4﹣或x＝4+（不合题意舍去），

综上所述，BE的长为或4﹣，

故选：A．