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    13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+a与直线y=kx+b（k≠0）交于P，Q两点，交y轴于点M，点D为抛物线顶点，点N（0，3），连接PN，QN，则y轴平分∠PNQ．
    （1）探究：取点Q（2，-2）时，点P的坐标为（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$），直接写出PQ的解析式y=-$\frac{3}{2}$x+1；取点Q（2，-3）时，点P的坐标为（-1，0）．直接写出直线PQ的解析式y=-x-1；
    （2）猜想：我们猜想当a取任意小于3的实数时，ND与MD的数量关系为ND=MD．
    （3）请取点P点坐标（xp，yp），Q点坐标（xq，yq），验证你的猜想．

    分析 （1）①利用待定系数法即可切线PQ的解析式．②根据对称性求出直线PN的解析式，再求出抛物线的解析式，解方程组求出点P坐标即可解决问题．
    （2）由（1）中探究发现，DN=DM．
    （3）作PE⊥ON于E，QF⊥y轴于F．由△NPE∽△NQF，推出$\frac{NE}{PE}$=$\frac{NF}{QF}$，可得$\frac{3-（k{x}_{P}+b）}{-{x}_{P}}$=$\frac{3-（k{x}_{Q}+b）}{{x}_{Q}}$，整理得3（xp+xQ）-2k（xP•xQ）-b（xP+xQ）=0由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+a}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得到，x2+kx+b-a=0，可得xP+xQ=-k，xP•xQ=b-a，推出-3k-2k（b-a）+bk=0，推出b=2a-3，推出直线PQ与y轴的交点M的坐标为（0，2a-3），推出DM=3-a，DN=3-a，由此即可解决问题．

    解答 解；（1）当点Q（2，-2），点P为（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，
    则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-2}\\{-\frac{1}{2}k+b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
    ∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+1．
    点Q（2，-3）时，根据对称性可知直线NP经过点（-2，-3），
    把Q（2，-3）代入y=-x2+a得到a=1，
    ∴直线PN的解析式为y=3x+3，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
    ∴点P的坐标为（-1，0）
    ∴直线PQ的解析式为y=-x-1．
    故答案分别为y=-$\frac{3}{2}$x+1，（-1，0），y=-x-1．

    （2）由（1）可知当点Q（2，-2），点P为（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$）时，DN=DM=1，
    当点Q（2，-3）时，DN=DM=2，
    所以猜想ND=MD．

    （3）∵P点坐标（xp，yp），Q点坐标（xq，yq），作PE⊥ON于E，QF⊥y轴于F．

    ∵∠PNE=∠QNF，∠PEN=∠QFN=90°，
    ∴△NPE∽△NQF，
    ∴$\frac{NE}{PE}$=$\frac{NF}{QF}$，
    ∴$\frac{3-（k{x}_{P}+b）}{-{x}_{P}}$=$\frac{3-（k{x}_{Q}+b）}{{x}_{Q}}$，
    整理得3（xp+xQ）-2k（xP•xQ）-b（xP+xQ）=0
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+a}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得到，x2+kx+b-a=0，
    ∴xP+xQ=-k，xP•xQ=b-a，
    ∴-3k-2k（b-a）+bk=0，
    ∴b=2a-3，
    ∴直线PQ与y轴的交点M的坐标为（0，2a-3），
    ∴DM=3-a，DN=3-a，
    ∴DN=DM．

    点评 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，学会利用参数构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

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