Question

4．等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=α，点D在BC上，连CE
（1）如图1，α=90°时，求∠DCE的度数．
（2）选用图2或图3其中的一个，求证：AB∥CE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，求得∠ACD=∠AED，再根据∠AOC=∠DOC，判定△AOC∽△DOC，进而判定△AOD∽△COE，得出∠ECO=∠DAO=45°；
（2）根据等腰三角形的性质，求得∠ACD=∠AED，再根据∠AOE=∠DOC，判定△AOE∽△DOC，进而判定△AOD∽△EOC，得出∠ECO=∠ADE，最后根据∠BAC=∠ADE得出∠ECO=∠BAC，即可得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质，求得∠ACD=∠AED，再根据∠AOC=∠DOE，判定△AOC∽△DOE，进而判定△AOD∽△COE，得出∠ECO=∠DAO，最后根据∠B=∠DAO得出∠ECO=∠B，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠ACD=∠AED=45°，
又∵∠AOC=∠DOC，
∴△AOC∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{CO}{EO}$，
即$\frac{AO}{CO}=\frac{DO}{EO}$，
又∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴∠ECO=∠DAO=45°，
故∠DCE的度数为45°；

（2）如图2，∵等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACD=∠AED，
又∵∠AOE=∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{EO}{CO}$，
即$\frac{AO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，
又∵∠AOD=∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴∠ECO=∠ADO，
又∵∠BAC=∠ADE，
∴∠ECO=∠BAC，
∴AB∥CE．

如图3，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACD=∠AED，
又∵∠DOE=∠AOC，
∴△DOE∽△AOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{CO}{EO}$，
即$\frac{AO}{CO}$=$\frac{DO}{EO}$，
又∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△COE，
∴∠ECO=∠DAO，
又∵∠B=∠DAO，
∴∠ECO=∠B，
∴AB∥CE．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是掌握：两角对应相等的两个三角形相似；内错角相等，两直线平行．解题时注意：当两个等腰三角形的顶角相等时，它们的底角也相等，即两个等腰三角形相似．