Question

如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是______．

Answer 1

如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，
∵A（2，0），C（-1，0），⊙C半径为1，
∴AO=2，AC=2+1=3，CD=1，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=

32-12

=2

2

，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠AOE，
在△AOE与△ADC中，

∠D=∠AOE ∠EAO=∠CAD

，
∴△AOE∽△ADC，
∴

EO

CD

=

AO

AD

，
即

EO

1

=

2

2 2

，
解得EO=

2

2

，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∴BE=OB-OE=2-

2

2

，
∴△ABE面积的最小值=

1

2

×BE×AO=

1

2

（2-

2

2

）×2=2-

2

2

．
故答案为：2-

2

2

．