Question

【题目】如图，在中，AB=AC，∠BAC=90，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．给出以下五个结论：（1）AE=CF；（2）∠APE =∠CPF；（3）△EPF是等腰直角三角形；（4）= （5）EF=AP其中一定成立的有________个．

Answer 1

【答案】4

【解析】

（1）通过证明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，
（2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出结论；
（3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出结论；
（4）由S四边形AEPF=S△APE+S△APF．就可以得出S四边形AEPF=S△CPF+S△APF，就可以得出结论，
（5）由条件知AP=BC，当EF是△ABC的中位线时才有EF=AP，其他情况EF≠AP．

(1)∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°,∠CPF+∠FPA=90°，

∴∠APE=∠CPF，故(1)正确.

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠B=∠C=45°.

∵P是BC的中点，

∴BP=CP=AP=BC.∠BAP=∠CAP=45°.

∴.∠BAP=∠C.

在△AEP和△CFP中

，

∴△AEP≌△CFP(ASA)，

∴AE=CF,PE=PF,S△AEP=S△CFP，故(2)正确.

∴△EPF是等腰直角三角形，故(3)正确.

∵S四边形AEPF=S△APE+S△APF.

∴S四边形AEPF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，故(4)正确.

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

∴AP=BC，

∵EF不是△ABC的中位线，

∴EF≠AP，故(5)错误；

∴正确的共有4个.

故答案为4.