精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=-
1
2
x-1
上,且过点A(4,0).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使|AD-CD|的值最大,请直接写出点D的坐标.
(1)∵抛物线过点(0,0)、(4,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=2.(1分)
∵顶点在直线y=-
1
2
x-1
上,
∴顶点坐标为(2,-2).(3分)
故设抛物线解析式为y=a(x-2)2-2,
∵过点(0,0),
a=
1
2

∴抛物线解析式为y=
1
2
x2-2x
;(5分)

(2)当APOB时,
如图,∠BOA=∠OAP=45°,过点B作BH⊥x轴于H,则OH=BH.
设点B(x,x),
x=
1
2
x2-2x

解得x=6或x=0(舍去)(6分)
∴B(6,6).(7分)
当OPAB′时,同理设点B′(4-y,y)
y=
1
2
(4-y)2-2(4-y)

解得y=6或y=0(舍去),
∴B′(-2,6);(8分)
∴B的坐标为(6,6)或(-2,6).

(3)D坐标应是(2,-6).(10分)
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线y=-
3
4
x2+bx+c与坐标轴交于A,B,C三点,点A的横坐标为-1,过点C(0,3)的直线y=-
3
4t
x+3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)确定b,c的值;
(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=
1
2
x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴相交于A,B两点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点Q是线段OB上的动点,过点Q作QEBC,交AC于点E,连接CQ,设OQ=m,当△CQE的面积最大时,求m的值,并写出点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线,与该抛物线交于点P,与直线BC交于点F,D的坐标为(-2,0),则是否存在这样的直线l,使OD=DF?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,0),且与直线l:y=x+m交y轴于同一点B(0,1),与直线l交于另一点A,D为抛物线的对称轴与直线l的交点,P为线段AB上的一动点(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点E.
(1)求抛物线和直线l的函数解析式,及另一交点A的坐标;
(2)求△ABE的最大面积是多少?
(3)问是否存在这样的点P,使四边形PECD为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=
1
3

(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,二次函数y=
1
2
x2+bx-
3
2
的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:______;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

已知二次函数y=ax2(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为______.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),其表达式是y=ax2+c的形式.请根据所给的数据求出a,c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案