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14.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)试猜想DC与CF的数量关系,并说明理由;
(2)若CD=2,求EF的长.

分析 (1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°,根据三角形内角和定理即可求解;
(2)根据已知条件得到△CDE是等边三角形,由等边三角形的性质得到∠DEC=∠ECD=60°,CD=CE,求得CE=CF,等量代换即可得到结论;
(3)易证△EDC是等边三角形,再根据直角三角形的性质即可求解.

解答 解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDC=30°;

(2)CD=CF,
理由:∵DE∥AB,
∴△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=∠ECD=60°,CD=CE,
∵∠F=30°,
∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°,
∴CE=CF,
∴CD=CF;

(3)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴△EDC是等边三角形.
∴ED=DC=2,
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4,
∴EF=$\sqrt{3}$DE=2$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质,以及直角三角形的性质,熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

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