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    （2013•天桥区一模）如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
    （1）当t为何值时，PQ∥BC．
    （2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
    （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）证△APQ∽△ABC，推出
    AP
    AB
    =
    AQ
    AC
    ，代入得出
    10-2t
    10
    =
    2t
    8
    ，求出方程的解即可
    （2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程
    10-2t
    10
    =
    PD
    6
    ，求出PD=
    3
    5
    （10-2t），根据三角形的面积公式求出即可；
    （3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-
    6
    5
    t2+6t=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．
    解答：解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
    ∵PQ∥BC，
    ∴△APQ∽△ABC，
    ∴
    AP
    AB
    =
    AQ
    AC
    ，
    ∴
    10-2t
    10
    =
    2t
    8
    ，
    t=
    20
    9
    ，
    即当t为
    20
    9
    s时，PQ∥BC；

    （2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
    ∴AB2=AC2+BC2，
    ∴∠C=90°，
    过P作PD⊥AC于D，
    则PD∥BC，
    ∴△APD∽△ABC，
    ∴
    AP
    AB
    =
    PD
    BC
    ，
    ∴
    10-2t
    10
    =
    PD
    6
    ，
    PD=
    3
    5
    （10-2t），
    ∴S=
    1
    2
    AQ•PD=
    1
    2
    •2t•
    3
    5
    （10-2t）=-
    6
    5
    t2+6t=-
    6
    5
    （t-
    5
    2
    ）2+7.5，
    ∵-
    6
    5
    ＜0，开口向下，有最大值，
    当t=
    5
    2
    秒时，S的最大值是7.5cm2．

    （3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
    则S△APQ=
    1
    2
    S△ABC
    即-
    6
    5
    t2+6t=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×8×6
    t2-5t+10=0，
    ∵△=52-4×1×10=-15＜0，
    ∴此方程无解，
    即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
    点评：本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．
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    		3
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