Question

【题目】已知椭圆Γ： 经过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且与椭圆Γ相交于不同的两点A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：将 代入椭圆方程， ，

由椭圆的离心率e= = ，

解得：a=2，b=1，

∴椭圆Γ的方程为

（2）解：当直线l垂直于x轴时，由直线l与圆O：x2+y2=1相切，

可知直线l的方程为x=±1，易求 ．

当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，

由直线l与圆O：x2+y2=1相切，得 ，即m2=k2+1，

将y=kx+m代入 ，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，

= ，

又因为m2=k2+1，

所以 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

综上所述，|AB|的最大值为2．

【解析】（1）将E代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，根据基本不等式的性质即可求得丨AB丨的最大值．