Question

2．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系式：y=$\left\{\begin{array}{l}{50x（0≤x≤5）}\\{30x+120（5＜x≤15）}\end{array}\right.$．
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？

Answer 1

分析 （1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．

解答 解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，
由题意可知：30n+120=420，
解得n=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．

（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；
当9≤x≤15时，设P=kx+b，
把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，
∴p=0.1x+3.2，
①0≤x≤5时，w=（6-4.1）×50x=95x，当x=5时，w_最大=475（元）；
②5＜x≤9时，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，
∵x是整数，
∴当x=9时，w_最大=741（元）；
③9＜x≤15时，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x²+72x+336，
∵a=-3＜0，
∴当x=-$\frac{b}{2a}$=12时，w_最大=768（元）；
综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．

（3）由（2）可知m=12，m+1=13，
设第13天提价a元，由题意得，w₁₃=（6+a-p）（30x+120）=510（a+1.5），
∴510（a+1.5）-768≥48，解得a≥0.1．
答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．