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【题目】在△ABC中,DBC中点,BECF与射线AE分别相交于点EF(射线AE不经过点D).

(1)如图①,当BECF时,连接ED并延长交CF于点H. 求证:四边形BECH是平行四边形;

(2)如图②,当BEAE于点ECFAE于点F时,分别取ABAC的中点MN,连接MEMDNFND. 求证:∠EMD=∠FND.

图① 图②

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

(1)根据ASA证明△BDE≌△CDH.得ED=HD.又BDCD,可得四边形BECH是平行四边形.

(2)连接FDED,延长EDCF于点H,根据(1)可知ED=HD.可得EDFD. 在Rt△AEB中,M是斜边AB中点,故 ,同理.故ME=DN 同理,MD=NF. 由SSS证△MED≌△NDF.所以∠EMD=∠FND.

证明:(1)∵DBC中点,

BDCD.

BECF

∴∠1=∠2.

又∵∠3=∠4,

∴△BDE≌△CDH.

ED=HD.

∴四边形BECH是平行四边形.

(2)连接FDED,延长EDCF于点H

BEAECFAE

BECF.

根据(1)可知ED=HD.

又∵CFAE

EDFD.

∵Rt△AEB中,M是斜边AB中点,

,

∵△ABC中,DN分别是BCAC中点,

.

∴ME=DN

同理,MD=NF.

∴△MED≌△NDF.

∴∠EMD=∠FND.

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