如图.在矩形ABCD中.AB=10cm.BC=6cm.现有两动点P.Q分别从A.B同时出发.点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动.点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动.已知点P的运动速度为1cm/s．(1)设点Q的运动速度为12cm/s.运动时间为t s.△DPQ的面积为S.请你求出S与t的函数关系式,的条件下.当△DPQ的面积最小时.求BQ的长,的条件下.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，现有两动点P、Q分别从A、B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s．
（1）设点Q的运动速度为

cm/s，运动时间为t s，△DPQ的面积为S，请你求出S与t的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当△DPQ的面积最小时，求BQ的长；
（3）在（1）的条件下，当△DAP和△PBQ相似时，求BQ的长．

分析：（1）根据路程=速度×时间，用时间t的代数式分别表示出AP、BQ、BP、BQ的长，再根据S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ即可得出关于S与t的函数关系式；
（2）由（1）可知，S是t的二次函数，运用配方法即可求解；
（3）由于∠PAD=∠PBQ=90°，所以当△DAP和△PBQ相似时，A与B是对应点，可分两种情况进行讨论：
①当∠ADP=∠BPQ时，△ADP∽△BPQ，根据相似三角形对应边的比相等列出比例关系式，求出此时t的值．进而求出BQ的长；
②当∠APD=∠BPQ时，△APD∽△BPQ，按照①的方法求t的值即可．

解答：

解：（1）连接DQ．
S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ
=10×6-

×6t-

×（10-t）•

×10•（6-

t）
=60-3t-

t²-30+

t
=

t²-3t+30；

（2）∵S_△DPQ=

t²-3t+30=

（t-6）2+21，
∴当t=6时，S_△DPQ最小，此时BQ=3cm；

（3）分两种情况：
①当∠ADP=∠BPQ时，△ADP∽△BPQ，
则

，即

10-t

，
解得：t=7，
当t=7时，BQ=3.5cm；
②当∠APD=∠BPQ时，△APD∽△BPQ，

，

10-t

，
t²+12t-120=0，
解得：t₁=-6+2

，t₂=-6-2

（不合题意，舍去）
当t=-6+2

时，BQ=

-3；
综上可知，当△DAP和△PBQ相似时，BQ的长为3.5cm或（

-3）cm．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数以及矩形的性质等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．

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