已知：A、B、C三点不在同一直线上．
（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，
i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；
ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA= $数学公式$ ；
（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．

解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，
∵OB=OC=1，
∴BC= $\text{[math]}$ ，
注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．

ii）证法一：如图②，作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，
∴∠EBC=90°

∴sinA=sinE= $\text{[math]}$ ，
证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，
则∠A= $\text{[math]}$ ∠BOC=∠BOH，BH= $\text{[math]}$ BC
∴sinA=sin∠BOH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，
在Rt△APC中，CK= $\text{[math]}$ AP=AK=PK，
同理得：BK=AK=PK，
∴CK=BK=AK=PK，
∴点A、B、P、C都在⊙K上，
∴由（1）ii）可知sin60°= $\text{[math]}$
∴AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （定值），
故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．
分析：（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；
ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE= $\text{[math]}$ ，得出即可；
（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°= $\text{[math]}$ ，得出AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （定值）．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°= $\text{[math]}$ 是解题关键．

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