Question

如图：在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，M是CD中点，试判断
BM，EM的大小关系并说明理由．

Answer 1

分析：分别取AC、AD的中点F、G，连BF、FM、GM、GE，由∠ABC=∠AED=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BF=FA=

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AC，EG=GA=

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AD，则∠BAF=∠ABF，∠GAE=∠GEA，于是有∠BFC=2∠BAC，∠EGD=2∠EAD，而∠BAC=∠EAD，则∠BFC=∠EGD，易得FM、GM是△CAD的中位线，根据三角形中位线的性质有FM=

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AD，FM∥AD，GM=

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AC，GM∥AC，则∠CFM=∠CAD，∠DGM=∠DAC，FM=EG，GM=BF，可得到∠BFC+∠CFM=∠EGD+∠DGM，即∠BFM=∠EGM，根据全等三角形的判定易证得△BFM≌△EGM，即可得到结论．

解答：解：BM=EM．理由如下：
分别取AC、AD的中点F、G，连接BF、FM、GM、GE，
∵∠ABC=∠AED=90°，
∴BF=FA=

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AC，EG=GA=

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AD，
∴∠BAF=∠ABF，∠GAE=∠GEA，
∴∠BFC=2∠BAC，∠EGD=2∠EAD，
而∠BAC=∠EAD，
∴∠BFC=∠EGD，
又∵M是CD中点，F是AC的中点，G是AD的中点，
∴FM、GM是△CAD的中位线，
∴FM=

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AD，FM∥AD，GM=

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AC，GM∥AC，
∴∠CFM=∠CAD，∠DGM=∠DAC，FM=EG，GM=BF，
∴∠BFC+∠CFM=∠EGD+∠DGM，即∠BFM=∠EGM，
在△BFM和△EGM中

BF=GM ∠BFM=∠EGM FM=EG

，
∴△BFM≌△EGM，
∴BM=EM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：如果两个三角形中，有两组对应边相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形中位线的性质．