Question

已知：如图，等边△ABC的边长是4，在等边△ABC上再叠加一个Rt△DEF，∠DEF=90°，∠F=30°，等边△ABC的边BC与EF重合，顶点E与B重合，顶点A在DF上，
（1）求边EF的长；
（2）若△ABC沿EF方向从E运动到F，速度为1m/s，时间为x秒，请你用含x的代数式表示线段AM的长；
（3）假设Rt△DEF和等边△ABC重合部分的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式；
（4）重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比有可能是7：24吗？如果有可能，请求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据△ABC是等边三角形可知∠ACB=60°，再由三角形外角的性质即可得出∠CAF=30°，故可得出AC=CF=4，故可得出EF的长；
（2）根据速度为1m/s，时间为x秒，可知BE=x，BF=8-x，再由△ABC是等边三角形可知∠A=60°，由∠F=30°得出∠ANM=90°，根据直角三角形的性质得出BN=

1

2

BF=

8-x

2

，AN=4-BN=4-

8-x

2

=

x

2

，再根据M=2AN即可得出结论；
（3）根据（3）中求出的AN、AM的长可用x表示出△AMN的面积，再由y=S_△ABC-S_△AMN即可得出结论；
（4）根据Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°可求出DE的长，进而得出△DEF的面积，再由（3）中y与x的关系式即可得出结论．

解答：解；（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△ACF的外角，∠F=30°，
∴∠CAF=∠ACB-∠F=60°-30°=30°，
∴AC=CF=4，
∴EF=BC+CF=4+4=8；

（2）∵速度为1m/s，时间为x秒，
∴BE=x，BF=8-x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠F=30°，
∴∠ANM=90°，
∴BN=

1

2

BF=

8-x

2

；
∴AN=4-BN=4-

8-x

2

=

x

2

，
∵由（1）知，∠AMN=∠F=30°，
∴AM=2AN=2×

x

2

=x；

（3）∵由（2）知，AN=

x

2

，AM=x，
∴MN=

3 x

2

，
∴S_△AMN=

1

2

AN•MN=

1

2

×

x

2

×

3 x

2

=

3 x2

8

，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∴y=S_△ABC-S_△AMN=4

3

-

3 x2

8

（0≤x≤8）；

（4）存在．
∵Rt△DEF中，EF=8，∠F=30°，
∴DE=

8 3

3

，
∴S_△DEF=

1

2

EF•DE=

1

2

×8×

8 3

3

=

32 3

3

，
∵由（3）知，y=4

3

-

3 x2

8

（0≤x≤8），
∴

4 3 - 3 x2 8

32 3 3

=

7

24

，解得x=

4 14

3

或x=-

4 14

3

（不合题意），
∴存在重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比是7：24．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到直角三角形的性质、锐角三角函数的定义、三角形的面积等知识，难度适中．