Question

10．某工厂生产一种新型产品，每件成本为18元．产品按质量分为10个等级（每个月能生产同一等级的产品），第一等级（最低等级）的产品能生产44万件，每件以28元销售．每提高一个等级，每件销售单价就提高2元，但月产量减少2万件．设生产该商品的质量为第x等级（x为整数，且1≤x≤10），产品的月总利润为W万元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）生产该产品的质量为第几等级时，月总利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在生产过程中，共有几个等级的产品销售的月利润不低于608万元？请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）先表示出第x等级时，每件的销售单价和月产量，再根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；
（2）将（1）中所求函数解析式配方成顶点式，结合x的取值可得W的最大值；
（3）由W=-4（x-$\frac{17}{2}$）²+729≥608，利用二次函数的图象求解可得．

解答 解：（1）根据题意知，质量为第x等级时，每件的销售单价为（28+2x）元/件，月产量为（44-2x）万件，
则W=（28+2x-18）（44-2x）=-4x²+68x+440；

（2）W=-4x²+68x+440=-4（x-$\frac{17}{2}$）²+729，
∵x为整数，且1≤x≤10，
∴当x=8或x=9时，W取得最大值，最大值为728万元，
答：生产该产品的质量为第8或9等级时，月总利润最大，最大利润是728万元；

（3）由（2）知，W=-4（x-$\frac{17}{2}$）²+729，
令W=608，即-4（x-$\frac{17}{2}$）²+729=608，
解得：x₁=3，x₂=14，

由函数图象可知，当3≤x≤14时，W≥608，
又∵1≤x≤10，且x为整数，
∴当3≤x≤10时，月利润不低于608万元，
∴共有8个等级的产品销售的月利润不低于608万元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定相等关系并据此列出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．