Question

20．已知，如图二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把点D（2，m）代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA讨论，运用相似三角形的性质求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标；
（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2$\sqrt{10}$，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2$\sqrt{10}$时直线DF′的解析式为：y=3x-2，从而得到满足条件的点M和点N的坐标．

解答 解：（1）由题可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+4b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．
∵点D（2，m）在抛物线上，
∴m=-$\frac{1}{2}$×2²+2+4=4，
∴点D的坐标为（2，4）；

（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，
∵点D（2，4），点B（4，0），
∴DH=4，OH=2，OB=4，
∴BH=2，∴DB=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵点E为DB的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$．
令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴点A为（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6．
①若△QBE∽△ABD，
则 $\frac{BQ}{BA}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{BQ}{6}$=$\frac{1}{2}$，
解得：BQ=3，
∴OQ=OB-BQ=4-3=1，
∴点Q的坐标为（1，0）；
②若△QBE∽△DBA，
则 $\frac{BQ}{BD}$=$\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{BQ}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴BQ=$\frac{5}{3}$，
∴OQ=OB-BQ=4-$\frac{5}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{7}{3}$，0）．
综上所述：点Q的坐标为（1，0）或（$\frac{7}{3}$，0）；

（3）如图2，由A（-2，0），D（2，4），
可求得直线AD的解析式为：y=x+2，
即点F的坐标为：F（0，2），
过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，
由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2$\sqrt{10}$，
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，
即四边形CFNM的最短周长为：2+2$\sqrt{10}$．
此时直线DF′的解析式为：y=3x-2，
所以存在点N的坐标为N（$\frac{2}{3}$，0），点M的坐标为M（1，1）．

点评 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法．