在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，1.5），我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．分析 （1）由朋友圈以及好友的定义，结合图形，即可得出结论；
（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5-0.5t），根据好友的定义，结合点C到直线l的距离小于等于1.5，即可得出关于时间t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）根据二次函数的性质找出抛物线的对称轴，结合函数图象以及好友的定义找出点D的坐标；连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，通过垂径定理、解直角三角形求出线段EM的长，再结合三角形的面积公式即可求出S△DOE的值，由点C、M点的坐标利用待定系数法求出直线CM的解析式，设出点E的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出点E的坐标，此题得解．
解答 解：（1）1.5-1.5=0，1.5+1.5=3，
∴点（0，0）、（0，3）到点C的距离为1.5，
∴点（0，0）、（0，3）为点C的好友．
（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5-0.5t），
直线l：y=$\frac{4}{3}$x-4可变形为4x-3y-12=0，
点C到直线l的距离d=$\frac{|4×0-3（1.5-0.5t）-12|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=|0.3t-3.3|，
当直线受圆C影响时，有d≤1.5，即|0.3t-3.3|≤1.5，
解得：6≤t≤16．
∴在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间为6≤t≤16．
（3）令y=$\frac{4}{3}$x-4中y=0，则$\frac{4}{3}$x-4=0，
解得：x=3，即点A的坐标为（3，0）．
依照题意画出图形，如图1所示．
∵抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，点O（0，0），点A（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{0+3}{2}$=1.5，
∵点D恰好为点C的好友，
∴点D的坐标为（1.5，1.5）．
连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，此时S△DOE最大，如图2所示．
∵OD是圆C的弦，CM⊥OD，
∴点M为线段OD的中点，
∴点M的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）、OM=$\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△CMO中，OM=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，CO=1.5=$\frac{3}{2}$，
∴CM=$\sqrt{C{O}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∵CE=1.5=$\frac{3}{2}$，EM=EC+CM，
∴EM=$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$，
此时S△DOE=$\frac{1}{2}$OD•EM=OM•EM=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$×$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+9\sqrt{2}}{8}$．
设直线CM的解析式为y=mx+n，
∵点C的坐标为（0，1.5）、点M的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）即（0.75，0.75），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1.5=n}\\{0.75=0.75m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1.5}\end{array}\right.$，
∴直线CM的解析式为y=-x+1.5．
设点E的坐标为（x，-x+1.5）（x＜0），
∵EC=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x+1.5-1.5）^{2}}$=1.5，
∴x=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，或x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$（舍去），
∴点E的坐标为（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$）．
故当△DOE面积最大时，点E的坐标为（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$），此时△DOE的面积是$\frac{9+9\sqrt{2}}{8}$．
点评 本题考查了二次函数的性质、垂径定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）明白朋友圈以及好友的定义；（2）得出|0.3t-3.3|≤1.5；（3）找出点D的坐标，确定点E的位置．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）难度不小，解题过程比较繁琐，对于初中生来说没有学过圆的解析式，由此带来一定难度，本问中先求出直线CM的解析式，设出点E的坐标，利用CE的长度结合两点间的距离公式即可找出点E的坐标，此处一定要明白，找出的点的坐标，一个到OD的长度最远一个到OD的长度最近，注意取舍问题很重要．
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB＞3，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE-GF）的值为（ ）| A． | 3 | B． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $3\sqrt{2}$ |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，∠AOC=90°，OA=OC=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NP垂直OA于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．查看答案和解析>>
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如图，在四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有②③．查看答案和解析>>
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如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是AB、AD的中点，若S△AEF=4，则S五边形EBCDF=28．