【题目】如图,,
是
内一点,
.若
、
分别是边
、
上的动点,则
周长的最小值为_______.
【答案】10
【解析】
作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,利用对称的性质得到△PQR周长=P′P″,根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10,从而得到△PQR周长的最小值
解:
作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,
则OP=OP′,OP=OP″,RP=RP′,QP=QP″,
∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″,
∴此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,
∵由对称性可知OP=OP′,OP=OP″,PP′⊥OB,PP″⊥OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°,
∴△P′OP″为等边三角形,
∴P′P″=OP′=OP=10,
故答案是:10.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120,AD⊥BC,且AD=AB.
(1)如图1,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,求证:AE+AF=AD
(2)如图2,如果∠EDF=60,且∠EDF两边分别交边AB,AC于点E,F,那么线段AE,AF,AD之间有怎样的数量关系?并给出证明.
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【题目】如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE、CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
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【题目】如图1,等边△OAB的顶点A在x轴的负半轴上,点B(a,b)在第二象限内,且a,b满足.点P是y轴上的一个动点,以PA为边作等边△PAC,直线BC交x轴于点M,交y轴于点D.
(1)求点A的坐标;
(2)如图2,当点P在y轴正半轴上时,求点M的坐标;
(3)如图3,当点P在y轴负半轴上时,求出OP,CD,AD满足的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】2017年中秋节来期间,某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼,第一周以每盒168元的价格销售了300盒,第二周如果单价不变,预计仍可售出300盒,该超市经理为了增加销量,决定降价,据调查,单价每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要赢利30元,第二周结束后,该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖,此时价格为70元/盒.
(1)若设第二周单价降低x元,则第二周的单价是 ______ ,销量是 ______ ;
(2)经两周后还剩余月饼 ______ 盒;
(3)若该超市想通过销售这批月饼获利51360元,那么第二周的单价应是多元?
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【题目】某公司实行年工资制,职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成,具体规定如下:
项目 | 第一年的工资(万元) | 一年后的计算方法 |
基础工资 | 1 | 每年的增长率相同 |
住房补贴 | 0.04 | 每年增加0.04 |
医疗费 | 0.1384 | 固定不变 |
(1)设基础工资每年增长率为x,用含x的代数式表示第三年的基础工资为 万元;
(2)某人在公司工作了3年,他算了一下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的18 %,问基础工资每年的增长率是多少?
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