Question

【题目】如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有，则称点P为关于点A的勾股点.矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E是矩形ABCD内一点，且点C是关于点A的勾股点，若是△ADE等腰三角形，求AE的长为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长

∵矩形ABCD中，AB=5，BC=6
∴AD=BC=6，CD=AB=5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CE=CD=5
i）如图1，若DE=DA，则DE=6

过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME=∠MND=90°
∴四边形AMND是矩形
∴MN=AD=6，AM=DN
设AM=DN=x，则CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2
∴62-x2=52-（5-x）2
解得：x=
∴EN=＝＝，AM=DN=
∴ME=MN-EN=6-＝
∴Rt△AME中，AE=＝
ii）如图2，若AE=DE，则E在AD的垂直平分线上

过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q
∴AP=DP=AD=3，∠APQ=∠PQC=90°
∴四边形CDPQ是矩形
∴PQ=CD=5，CQ=PD=3
∴Rt△CQE中，EQ=
∴PE=PQ-EQ=1
∴Rt△APE中，AE=;
iii）如图3，若AE=AD=6，则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2

∴∠AEC=90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上
∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为.

故答案为.