如图1.在Rt△ACB中.∠BAC=90°.AB=AC.分别过B.C两点作过点A的直线l的垂线.垂足为D.E,(1)如图1.当D.E两点在直线BC的同侧时.猜想.BD.CE.DE三条线段有怎样的数量关系?并说明理由．(2)如图2.当D.E两点在直线BC的两侧时.BD.CE.DE三条线段的数量关系为．(3)如图2.若直线AD被截成的线段AE.EM.MD的长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；

（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为

．
（3）如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又S_△ABM=S₁，S_△ACM=S₂，求S₂-S₁的值（用含有a，b，c的代数式表示）
（4）如图，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B-A-C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C-A-B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠ABD=∠CAE，即可证明△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，即可解题；
（2）易证∠ABD=∠CAE，即可证明△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，即可解题；
（3）根据CE=AD，BD=AE，即可求得BD，CE的长度，可以分别计算S₂、S₁的值，即可解题；
（4）分两种情况讨论：①点P和点Q重合，②点P和点Q不重合，此时AP=AQ，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠DAB+∠ABD=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠AEC

∠ABD=∠CAE

AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；
（2）证明：∵∠DAB+∠ABD=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠AEC

∠ABD=∠CAE

AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE，（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（3）解：∵CE=AD，BD=AE，
∴BD=a，CE=a+b+c，
∴S₂=S_△AEC+S_△MEC=

（a+b）（a+b+c），
S₁=S_△ABN-S_△BDM=

（a+b-c）a，
∴S₂-S₁=

（ab+ac+b²+bc）；
（4）解：分两种情况：
①点P和点Q重合，此时点P和点Q共走了50，此时t=10s，
②点P和点Q不重合，此时AP=AQ，
则有22-2t=28-3t，
解得：t=6s．
故答案为6s或10s．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CAE是解题的关键．

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