定义一种变换:平移抛物线F1得到抛物线F2.使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1.F2于点D.B.点C是点A关于直线BD的对称点．(1)如图1.若F1:y=x2.经过变换后.得到F2:y=x2+bx.点C的坐标为(2.0).则:①b的值等于 ,②四边形ABCD为( )A.平行四边形,B.矩形,C.菱形,D.正方形．(2)如图2.若F1:y=ax2+c.经过变换后.点B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2009•绍兴）定义一种变换：平移抛物线F₁得到抛物线F₂，使F₂经过F₁的顶点A．设F₂的对称轴分别交F₁，F₂于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，若F₁：y=x²，经过变换后，得到F₂：y=x²+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于______；
②四边形ABCD为（）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F₁：y=ax²+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c-1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F₁：y=

x²-

，经过变换后，AC=2

，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

【答案】分析：（1）已知F₂的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值；
（2）在（1）的基础上求出S_△ABD；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
解答：解：（1）-2；D；

（2）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=

．
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2；

（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=

x²-

，配方得y=

（x-1）²+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2

，
∴点C的坐标为（1+2

，2）．
∵F₂过点A，

∴F₂解析式为y=

（x-1-

）²+1，
∴B（1+

，1），
∴D（1+

，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．

作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=

，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=

AD=

∴最小值为

．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为

．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为

．
点评：本题综合考查的是考生的作图能力以及二次函数的灵活运用，难度较大．

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