Question

如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B作BK⊥BE于B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G．
（1）求证：BH=BG； 
（2）求证：BE=BG+AE．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，BK⊥BE，根据同角的余角相等，易证得∠FBH=∠CBG，又由BF=BC，利用等边对等角，可得∠BFH=∠BCG，然后利用三角形外角的性质，即可证得∠BHG=∠BGH，即可得BH=BG；
（2）首先在BF上截取BN=BH，连接NH，AN交FC于O，易证得△BHF≌△BNA，然后可证得∠ENA=∠AHF，利用同角的余角相等，可证得∠EAN=∠ENA，即可得EN=AE，继而可证得BE=BG+AE．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
即∠ABK+∠CBG=90°，
∵BK⊥BE，
∴∠ABK+∠FBH=90°，
∴∠FBH=∠CBG，
∵BF=BC，
∴∠BFH=∠BCG，
∵∠BHG=∠BFH+∠FBH，∠BGH=∠BCG+∠CBG，
∴∠BHG=∠BGH，
∴BH=BG；

（2）在BF上截取BN=BH，连接NH，AN交FC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BF=BC，
∴BF=BA，
在△BHF和△BNA中，

BH=BN ∠HBF=∠NBA BF=BA

，
∴△BHF≌△BNA（SAS），∴∠BFH=∠BAN，
在△FON和△AOH，∠BFH=∠BAN，∠FON=∠AOH（对顶角相等），
∴∠ENA=∠AHF，
∵∠AHF=∠BHC=90°-∠HCB，
∵∠BFH=∠BAN=∠HCB，
∴∠ENA=∠AHF=90°-∠BAN，
∵∠EAN=90°-∠BAN，
∴∠EAN=∠ENA，
∴NE=AE，
∴BE=BN+NE=BH+AE=BG+AE．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．