Question

已知抛物线y=x²-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，且抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x²，求a、b的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：首先，设抛物线y=x²-2ax+2a+b的图象与x轴两个交点的横坐标分别是x₁、x₂．利用根与系数的关系求得x₁+x₂=2a，x₁•x₂=2a+b，由完全平方公式变形得到
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，即9=4a²-8a-4b，①
然后，根据顶点坐标公式和二次函数图象上点的坐标特征推知2a+b-a²=-a²，解得b=-2a，②
由①②解得，a=

3

2

，b=-3，或a=-

3

2

，b=3．

解答：解：设抛物线y=x²-2ax+2a+b的图象与x轴两个交点的横坐标分别是x₁、x₂．
则x₁+x₂=2a，x₁•x₂=2a+b．
∵抛物线y=x²-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，
∴|x₁-x₂|=3，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，即9=4a²-8a-4b，①
∵y=x²-2ax+2a+b=（x-a）²+2a+b-a²，
∴顶点坐标为：（a，2a+b-a²）．
又∵抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x²，
∴2a+b-a²=-a²，
解得，b=-2a，②
由①②解得，a=

3

2

，b=-3，或a=-

3

2

，b=3．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，利用了完全平方公式的变形、一元二次方程的根与系数的关系等知识点．