Question

【题目】已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，点E在BC延长线上，连接DE，∠A＋∠E＝180°．

（1）如图1，求证：CD=DE；

（2）如图2，过点C作BE的垂线，交AD于点F，请直接写出BE、AF、DF 之间的数量关系_______________________；

（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC的平分线，交CD于G，交CF于H，连接FG，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE=AF+3DF；（3）31

【解析】

（1）利用等角的补角判断出∠DCE=∠E即可；

（2）先判断出四边形CFDN是矩形，再判断出CN=NE=FD，即可得出结论；

（3）先判断出∠ABG=∠BGC，进而得出四边形BCFM是正方形，即可判断出△BMK≌△BCH，再用勾股定理求出BM=15，即可得出AD=BC=BM=15，即可求出结论．

（1）∵

四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠BCD，

∵∠A+∠E=180°，∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠E，

∴CD=DE；

（2）如图2，过点D作DN⊥BE于N，

∵CF⊥BE，

∴∠DNC=∠BCF=90°，

∴FC∥DN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴四边形CFDN是矩形，

∴FD=CN，

∵CD=DE，DN⊥CE，

∴CN=NE=FD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=AF+FD，

∴BE=AF+3DF．

（3）如图3，过点B作BM⊥AD于点M，延长FM至K，使KM=HC．连接BK，

∵ABCD，

∴AB∥CD，

∴∠ABG=∠BGC，

∵BG平分∠ABC，

∴设∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，

∴BC=CG，

∵∠FGH=45°，

∴∠FGC=45°+α，

∵∠BCF=90°，

∴∠BHC=∠FHG=90°-α，

∴∠HFG=45°+α=∠FGC，

∴FC=CG=BC，

∵BM⊥AD，

∴∠MBC=90°=∠FCE=∠MFC，

∴四边形BCFM是矩形，

∵BC=FC，

∴四边形BCFM是正方形，

∴BM=MF=BC=AD，

∴MA=DF=8，

∵∠KMB=∠BCH=90°，KM=CH，

∴△BMK≌△BCH，

∴KM=CH=9，∠KBM=∠CBH=α，∠K=∠BHC=90°-α，

∵∠MBC=90°，

∴∠MBA=90°-2α，

∴∠KBA=90°-α=∠K，

∴AB=AK=8+9=17，

在Rt△ABM中，∠BMA=90°，BM==15，

∴AD=BC=BM=15，

∴AF=AD-DF=15-8=7，

∴BE=AF+3DF=7+3×8=31．