Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D是线段AC上的一动点，E在BC的延长线上，且BD＝DE．

（1）如图1，若点D为线段AC的中点，求证：AD＝CE；

（2）如图2，若点D为线段AC上任意一点，试确定线段AD与CE的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AD＝CE，理由详见解析．

【解析】

（1）根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数，再根据BD＝DE可求得∠E的度数，进而可求得∠CDE的度数，于是可判断CD与CE的关系，进一步即可得出结论；

（2）作DF∥AB，利用AAS可证△BDF≌△EDC，得BF＝CE，再证AD＝BF即可，而易证△DCF是等边三角形，所以CF=CD，再根据CA=CB，问题即得解决．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，点D为线段AC的中点，

∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝30°，

∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE＝30°，

∵∠DCE＝180°﹣∠ACB＝120°，

∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，即∠E＝∠CDE，

∴CD=CE，

∴AD＝CE；

（2）作DF∥AB交BC于点F，如图2，

∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠ABC=60°，∠FDC＝∠A=60°，

∴△DCF是等边三角形，

∴CF=CD，∵CA=CB，∴BF＝AD，

∵∠DFC＝60°，∴∠BFD＝120°，

∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，

∴∠BFD=∠ECD，

∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，

在△BDF和△EDC中，，

∴△BDF≌△EDC（AAS），

∴BF＝CE，

∴AD＝CE．