Question

已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，可知，AC=CF，BC=CE，所以得到四边形ABFE是平行四边形；由平行四边形的性质可知AE∥BF且AE=BF；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，则可求得S_△ABC=3cm²，又因为四个三角形等底同高，所以S_{四边形ABFE}=4×S_△ABC，可求得面积是12cm²；
（3）当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，可得AF=BE，即四边形ABCD是矩形．

解答：解：（1）∵△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，
∴ACF、BCE共线且AC=CF，BC=CE（2分），
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF且AE=BF．（3分）

（2）过点A作AD⊥BC于点D，
则S_△ABC=

1

2

BC•AD=3cm²．（5分）
又∵平行四边形ABFE中，BC=CE，S_△ABC=S_△AEC，S_△FBC=S_△FEC，
又∵AC=CF，
∴S_△AEC=S_△FBC，
∴四个三角形面积相等，
∴S_{四边形ABFE}=4×S_△ABC=12cm²．（6分）

（3）∠ACB=60°时，四边形ABEF是矩形，（7分）
理由：∵当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，
∴AF=BE，（8分）
∴四边形ABEF是矩形．（9分）

点评：主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质和旋转的性质．解题的关键是利用旋转的性质得到相等的线段和全等的图形．熟练掌握矩形的判定以及等腰三角形的性质才能在综合题中灵活运用．