Question

16．如图1，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=30°，D为AB上一个动点，过点D作DP⊥AB交折线A-C-B于点P，设AD的长为x，△APD的面积为y，y关于x的函数图象由C₁，C₂两段组成，如图2所示．
（1）当x=4.5时，求AP的长；
（2）求图2中图象C₂段的函数解析式；
（3）求x为何值时，△APD的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用锐角三角函数直接求出AP；
（2）由图形得出点P和点C重合时，AD=4.5，利用含30°角的直角三角形的性质求出y的最大值，进而求出BE，再判断出PD∥CE得出△BDP∽△BEC得出比例式表示出BD，PD最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）当点P在边AC上时，先利用含30°的直角三角形的性质得出PD，再用三角形面积公式建立方程求解，当点P在BC上时，利用（2）的函数关系式即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△ADP中，AD=x=4.5，∠A=30°，
∴AP=$\frac{AD}{cos∠A}$=$\frac{4.5}{cos30°}$=3$\sqrt{3}$；

（2）由图2知，当AD=x=4.5时，y=S_△APD的面积最大，此时，点P和点C重合，
由（1）知，AD=4.5，
∴AC=AP=3$\sqrt{3}$，
如图1，过点C作CE⊥AB，
∴AE=x，CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴y=S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE×CE=$\frac{1}{2}$×4.5×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$，
在Rt△BCE中，CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∠BCE=90°-∠ACE=30°，
∴BE=CE•tan∠BCE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×tan30°=$\frac{3}{2}$，
∴BC=3，
在Rt△ABC中，AB=2BC=6，
如图2，点D在线段BE上时，
∵CE⊥AB，PD⊥AB，
∴CE∥PD，
∴△BDP∽△BEC，
∴$\frac{PD}{CE}=\frac{BD}{BE}$，
∵BD=AB-AD=6-x，
∴$\frac{PD}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{6-x}{\frac{3}{2}}$，
∴PD=$\sqrt{3}$（6-x），y=$\frac{1}{2}$AD•PD=$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$（6-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x²-6x）（4.5＜x＜6）；

（3）当0＜x≤4.5时，在Rt△APD中，∠BAC=30°，AD=x，
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²，
∵△APD的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴x=-$\sqrt{15}$（舍）或x=$\sqrt{15}$，
由（2）知，4.5＜x＜6时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x²-6x），
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x²-6x），
∴x=1（舍）或x=5，
即：x为$\sqrt{15}$或5时，△APD的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，解（2）的关键是确定出BE和PD，解（3）的关键是求出点P在AB边上时，△APD的面积的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．