Question

19．已知抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（-1，0），过x轴上一点E作EG⊥x轴交抛物线于点G，交直线AC于点F．
（1）直接写出点C的坐标（0，4）；
（2）如图，当点A在x轴的正半轴上，且直线EG为抛物线的对称轴时，过C作CH⊥GE交GE于H点，若$\frac{FH}{FE}$=$\frac{3}{5}$，求抛物线的表达式；
（3）连接CG，当△CGF为等腰直角三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接利用坐标轴上点的坐标特点即可确定；
（2）先确定出点E坐标，即可得出CH，AE，最后用相似三角形得出的比例式列出方程求解即可；
（3）先判断出∠AFE≠90°，再分两种情况利用等腰直角三角形的性质列出方程或方程组求解即可．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=4，
∴C（0，4），
故答案为：0，4；
（2）∵抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A，B（-1，0）两点，
∴a-b+4=0，
∴b=a+4，
∴抛物线的解析式为y=ax²+（a+4）x+4=（ax+4）（x+1）
∴A（-$\frac{4}{a}$，0），对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{a+4}{2a}$，
∵直线EG为抛物线的对称轴，
∴E（-$\frac{a+4}{2a}$，0），
∴OE=|-$\frac{a+4}{2a}$|，
∵EG⊥x，CH⊥GE，
∴CH∥AE，四边形OCHE是矩形，
∴CH=OE=|-$\frac{a+4}{2a}$|，AE=BE=|-$\frac{a+4}{2a}$+1|，
∵CH∥AE，
∴△CHF∽△AEF，
∴$\frac{CH}{AE}=\frac{FH}{FE}$，
∵$\frac{FH}{FE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{|-\frac{a+4}{2a}|}{|-\frac{a+4}{2a}+1|}$=$\frac{3}{5}$，
∴a=-1或a=-16，
∴b=a+4=3或-12，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4或y=-16x²-12x+4．
（3）∵A（-$\frac{4}{a}$，0），C（0，4），
∴直线AC解析式为y=ax+4，
设E（m，0），
∴F（m，am+4），G（m，am²+（a+4）m+4）；
∵△CGF为等腰直角三角形，
∵EG⊥x轴，
∴∠AFE≠90°，
∴①当∠FCG=90°时，
如图，∴FG=2CH=2OE，点H是FG的中点，且纵坐标和点C的相同，
∴|am²+4m|=|m|①，$\frac{am+4+a{m}^{2}+am+4m+4}{2}$=4②，
联立①②得，a=-$\frac{1}{2}$，m=6或a=$\frac{1}{2}$，m=-6，
∴E（6，0）或（-6，0），
②当∠CGF=90°时，CG=FG，
∵FG⊥x轴，
∴CG∥x轴，
∴G的纵坐标为4，
∴G（-$\frac{a+4}{a}$，4），F（-$\frac{a+4}{a}$，$\frac{4}{a+4}$），E（-$\frac{a+4}{a}$，0），
∴CG=|$\frac{a+4}{4}$|，FG=|4-$\frac{4}{a+4}$|，
∴|$\frac{a+4}{4}$|=|4-$\frac{4}{a+4}$|，
∴a=4+4$\sqrt{3}$或a=4-4$\sqrt{3}$，或a=-12+4$\sqrt{5}$或a=-12-4$\sqrt{5}$，
∴-$\frac{a+4}{a}$=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{a+4}{a}$=-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{a+4}{a}$=$\frac{5\sqrt{5}-11}{4}$   或-$\frac{a+4}{a}$=-$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，
∴E（-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，0）或（-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，0）或（ $\frac{5\sqrt{5}-11}{4}$，0）或（-$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，0）．
即：满足条件的E的坐标为E（6，0）或（-6，0）或（-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，0）或（-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，0）或（ $\frac{5\sqrt{5}-11}{4}$，0）或（-$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质解方程或方程组，是一道中等难度的试题，但计算量比较大．