Question

（2006•厦门）已知P（m，a）是抛物线y=ax²上的点，且点P在第一象限．
（1）求m的值
（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M．
①当b=2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；
②当b=4时，记△MOA的面积为S，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值（要注意P点在第一象限的判定条件）．
（2）①先将P点坐标代入直线的解析式中，根据b=2a的条件可用a表示出直线AM的斜率．然后根据P点坐标求出直线OP的斜率，由于OP⊥AM，因此直线OP与直线AM的斜率的积为-1，由此可求出a的值．因此本题的就结论应该是成立的．
②求三角形MOA的面积，可以OA为底，以M点纵坐标为高，将b=4代入直线AM的解析式中，用a替换掉斜率k，然后求出A点的坐标；然后联立抛物线的解析式求出M点的坐标，即可用三角形面积公式求出S的表达式，即可得出与a的函数关系式，根据函数的性质即可求出其最大值．
解答：解：（1）m²a=a（a＞0），
m²=1（m＞0），
即m=1；


（2）①b=2a，y=kx+2a，
P在直线上，则a=k+2a，即a=-k（k＜0）
则kx+2a=0，即x=-=2，
A（2，0）
-kx²=kx-2k?x²+x-2=0?（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-2，4a）
∠OPA=90°
即a²=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x²
P（1，1）
故当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立；

②当b=4时，直线y=kx+b即为直线y=kx+4，
kx+4=0?x=-
又∵直线y=kx+4过点P（1，a），
∴k+4=a?k=a-4，
（a-4）x+4=ax²
即ax²-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=••=
=a-a²=-（a-2）²+，
∴当a=2时，_max=．
点评：本题考查的是二次函数的综合运算能力．