Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点E是AB的中点，P是BD上的动点，则△PAE周长的最小值为

 

．（结果保留根号）

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：根据要求的结论，△PAE周长的最小值即是PA+PE最小，点P又在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，再根据线段垂直平分线的性质，求得△PAE周长的最小值，进而求得△PAE周长的最小值；

解答：解：如图：连接EC，与BD的交于点P，连接AC，此时△PAE周长的最小．
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∵BC=10，BD=16，
∴OB=OD=8，
∴OC=

BC2-OD2

=6，
∴AC=12，
∴S_△ACB=

1

2

AC•OB=

1

2

×12×8=48，
∵AE=BE=5，
∴S_△AEC=24，
过E作EF⊥AC于F，
∵S_△AEC=

1

2

AC•EF=

1

2

×12EF=24，
∴EF=4，
∴AF=

AE2-EF2

=

52-42

=3，
∴CF=AC-AF=12-3=9，
∴CE=

CF2+EF2

=

92+42

=

97

，
∵PA=PC，
∴PA+PE=CE=

97

，
∴PA+PE+AE=5+

97

，
故答案为：5+

97

．

点评：本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理的应用、三角形面积公式的应用及点对称的应用．