Question

如图，已知直线y=

4

3

x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．
（1）当t=1时，AC=

2

，点D的坐标为

（-

12

5

，

4

5

）

；
（2）设四边形BDCO的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；
（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；
（4）当△EFE′为等腰直角三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析：（1）过D作DH⊥AC于H，求出A、B的坐标，求出AB，求出AH，DH，即可求出答案．
（2）求出AH、DH，根据三角形面积公式分别求出△ABO和△ADC面积，即可得出答案．
（3）分为两种情况：①EF⊥OB，

AC

AD

=cos∠BAO，代入求出即可；②EF⊥AB，C点和A点重合，求出即可．
（4）①当0＜t＜

15

8

，且且重叠部分为等腰梯形PEQM时，过D作DH⊥AC于H，则△DHC是等腰直角三角形，根据DH=HC，代入得出

4

5

t=3-t-

3

5

t即可；②当

15

8

＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK时，连接DHDH，求出DH=

4

5

t，CH=t-（3-

3

5

t），得出方程，求出即可．

解答：解：（1）如图1，过D作DH⊥AC于H，
∵直线y=

4

3

x+4与x轴、y轴分别相交于点A，A、B，
∴A（（-3，0），B（0，4），
∴AO=3，BO=4，
∴AB=

AO2+BO2

=

32+42

=5，
当0≤t≤3时，如图1，
∵CO=t，AD=t，
∴AC=3-t，DH=AD•sin∠BAO=

4

5

t，AH=ADcos∠BAO=

3

5

t，
当t=1时，AC=3-1=2，
点D的坐标为（-

12

5

，

4

5

）；

（2）∵AO=3，BO=4，AB=5
∴sin∠BAO=

BO

AB

=

4

5

，cos∠BAO=

AO

AB

=

3

5

过D作DH⊥AC于H，
当0≤tt≤3时，如图1，
∵CO=t，AD=t，
∴AC=3-t，DH=AD•sin∠BAO=

4

5

t，
∴S=S_△ABO-S_△ADC=

1

2

×3×4-

1

2

•（3-t）•

4

5

t，
S=

2

5

t²-

6

5

t+6（0＜t＜3）．

（3）如图2，当EF⊥BO时，

∵EF⊥CD，
∴CD∥BO，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ADC中，

AC

AD

=cos∠BAO，
∴

3-t

t

=

3

5

，
t=

15

8

，
当EF⊥AB时，如图3，

∵EF⊥CD，
∴直线CD和直线AB重合，
∴C点和A点重合，
∴t=3．

（4）①如图4，

当0＜t＜

15

8

，且且重叠部分为等腰梯形PEQM时，
则∠PEQ=∠MQE，
∵菱形CDMN，
∴CD∥MN，
∴∠MQE=∠CEQ，
∵EF⊥CD，
即∠CEF=90°，
∴∠CEQ=45°，
∴∠ACD=∠CEQ=45°，
过D作DH⊥AC于H，则△DHC是等腰直角三角形，
∴DH=HC，
∴

4

5

t=3-t-

3

5

t，
∴t=

5

4

；
②如图5，

当

15

8

＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK时，
同理可得∠CHE=45°，
连接DHDH，
∵EF垂直平分CD，
∴CH=DH，∠DHE=∠CHE=45°，
∴∠DHC=90°，
∴DH=

4

5

t，
而CH=CO-HO=CO-（AO-AH）=t-（3-

3

5

t），
∴t-（3-

3

5

t）=

4

5

t，
∴t=

15

4

．

点评：本题考查了解一元一次方程，一次函数的图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，题目比较好，但是难度偏大．