Question

19．已知关天x的一元二次方程（k-1）x²+（2k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数限的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根可知△=（2k+2）²-4k（k-1）＞0，求得k的取值范围；
（2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁，x₂的倒数和为1，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+2）²-4k（k-1）=12k+4＞0，且k≠0，
解得k＞-$\frac{1}{3}$，且k≠0，
即k的取值范围是k＞-$\frac{1}{3}$，且k≠0；

（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁，x₂的倒数和为1，
则x₁，x₂不为0，
x₁x₂=-$\frac{2k+2}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{k}{k-1}$
且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，
即$\frac{-2k-2}{k}$=1，
解得k=-$\frac{2}{3}$，
而k=-$\frac{2}{3}$与方程有两个不相等实根的条件k＞-$\frac{1}{3}$，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为1的实数k不存在．

点评 此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解题时将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．