Question

8．已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C
（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；
（3）在（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，求得点A、B坐标，顶点D在直线AB上，由抛物线顶点式得出y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+1，进一步代入B点求得答案即可；
（2）由题意表示出点D和点C坐标，进一步利用等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得答案即可；
（3）由（2）的图形延长AC交对称轴于点F，求得直线AC，进一步证得△ADF∽△CDP，利用相似的性质求得DP，进一步确定点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（-1，0），点B（0，1），
∵顶点D在直线AB上，
∴y=$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+1，
把点B（0，1）代入得
1=$\frac{1}{2}$m²+m+1，
解得：m=-2或m=0（不合题意舍去），
∴y=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1；
（2）如图，

由题意可知：
点D（m，m+1），C（0，$\frac{1}{2}$m²+m+1），
∵在Rt△ABO中，AO=BO=1，CD⊥AB，
∴△CDB为等腰直角三角形，
作DH⊥BC，则DH=$\frac{1}{2}$BC，
∴m=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+m+1-1），
解得m=2，
∴C（0，5），D（2，3），CD=2$\sqrt{2}$，AD=3$\sqrt{2}$，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2}{3}$．
（3）延长AC交对称轴于点F，
直线AC：y=5x+5，
则F（2，15），
∵∠DCP=∠CAD，∠APF=∠CDP=135°，
∴△ADF∽△CDP，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DF}{DP}$，
$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{12}{DP}$
解得DP=8，
又∵点D（2，3）
∴P（2，-5）．

点评 此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题．