Question

已知关于x的方程9x²-9xsinA-2=0的两根的平方和是1，其中∠A为锐角三角形ABC的一个内角．①求sinA的值．②若△ABC的两边长x、y满足方程组（m为实数），求△ABC的第三边．

Answer 1

解：（1）设方程9x²-9xsinA-2=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=sinA，x₁•x₂=-．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=sin²A+．
∵方程9x²-9xsinA-2=0的两根的平方和是1，
∴sin²A+=1，
∴sinA=±，
∵∠A为锐角，
∴sinA=．

（2）依题意，知x、y是关于t的一元二次方程t²-6t+m²+4m+13=0①的两根，
则△≥0，
∴36-4（m²+4m+13）≥0，
∴-（m+2）²≥0，
∴（m+2）²≤0，
又∵（m+2）²≥0，
m=-2．
把m=-2代入方程①，得t²-6t+9=0，
解得t=3，
∴x=y=3，
∴△ABC是等腰三角形．
分两种情况：①∠A是底角；②∠A是顶角．
①当∠A是底角时，如图，△ABC中，AB=BC=3，作底边AB上的高BD，则AB=2AD．
在直角△ABD中，
∵sinA=，
∴，
∴BD=，
∴AD==2，
∴AC=4；
②当∠A是底角时，如图，△ABC中，AB=AC=3，作腰AC上的高BD．
在直角△ABD中，∵sinA=，
∴，
∴BD=，
∴AD==2，
∴CD=AC-AD=1．
在直角△ABD中，∵∠BDC=90°，
∴BC==．
综上可知，△ABC的第三边的长度为4或．
分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式，即可求出sinA的值．
（2）根据根的判别式首先求出m的值，然后分两种情况：①∠A是底角；②∠A是顶角，分别求出△ABC的第三边的长度．
点评：本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质，三角函数的定义，综合性强，难度较大．