Question

12．已知抛物线C：y=x²-2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，$\frac{1}{2}$）．
（1）求tan∠OPQ的值；
（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出抛物线与y轴的交点，抛物线解析式化为顶点式，求出点P坐标；
（2）①设出Q′（0，m），表示出Q′H，根据FQ′=OQ′，用勾股定理建立方程求出m，即可．
②方法一：根据AF=AN，用勾股定理，（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=（x²-2x+$\frac{5}{4}$）+y²-y=y²，求出AF=y，再求出直线Q′F的解析式，即可．
方法二，先求出点P的对称点K的坐标（ $\frac{37}{25}$，$\frac{16}{25}$），然后求出直线FK的解析式，再求出直线FK与抛物线的交点坐标（取右边一个交点）．

解答 解：（1）∵y=x²-2x+1=（x-1）²
∴顶点P（1，0），
∵当x=0时，y=1，
∴Q（0，1），
∴tan∠OPQ=1；

（2）①设抛物线C′的解析式为y=x²-2x+m，
∴Q′（0，m）其中m＞1，
∴OQ′=m，
∵F（1，$\frac{1}{2}$），
过F作FH⊥OQ′，如图：

∴FH=1，Q′H=m-$\frac{1}{2}$，
在Rt△FQ′H中，FQ′²=（m-$\frac{1}{2}$）²+1=m²-m+$\frac{5}{4}$，
∵FQ′=OQ′，
∴m²-m+$\frac{5}{4}$=m²，
∴m=$\frac{5}{4}$，
∴抛物线C′的解析式为y=x²-2x+$\frac{5}{4}$，
②方法一：设点A（x₀，y₀），则y₀=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$①，
过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x₀，n），

∴AN=y₀-n，其中y₀＞n，
连接FP，
∵F（1，$\frac{1}{2}$），P（1，0），
∴FP⊥x轴，
∴FP∥AN，
∴∠ANF=∠PFN，
连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，
∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，
∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，
∵A（x₀，y₀），F（1，$\frac{1}{2}$），
∴AF²=（x₀-1）²+（y₀-$\frac{1}{2}$）²=x₀²-2x₀+1+y₀²-y₀+$\frac{1}{4}$=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$+y₀²-y₀=（x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$）+y₀²-y₀②
∵y₀=x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$①，
将①右边整体代换②得，AF²=（x₀²-2x₀+$\frac{5}{4}$）+y₀²-y₀=y₀+y₀²-y₀=y₀²
∵y₀＞0
∴AF=y₀，
∴y₀=y₀-n，
∴n=0，
∴N（x₀，0），
设直线Q′F的解析式为y=kx+b，
则 $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{k+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
由点N在直线Q′F上，得，0=-$\frac{3}{4}$x₀+$\frac{5}{4}$，
∴x₀=$\frac{5}{3}$，
将x₀=$\frac{5}{3}$代入y₀=x${{\;}_{0}}^{2}$-2x₀+$\frac{5}{4}$，
∴y₀=$\frac{25}{36}$，
∴A（$\frac{5}{3}$，$\frac{25}{36}$）．
方法二：由①有，Q'（0，$\frac{5}{4}$），F（1，$\frac{1}{2}$），P（1，0），
∴直线FQ'的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$①，
∵FQ'⊥PK，P（1，0），
∴直线PK的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$②
联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（$\frac{31}{25}$，$\frac{8}{25}$），
∵点P，K关于直线FQ'对称，
∴K（$\frac{37}{25}$，$\frac{16}{25}$），
∵F（1，$\frac{1}{2}$），
∴直线FK的解析式为y=$\frac{7}{24}$x+$\frac{5}{24}$③，
∵射线FK与抛物线C′：y=x²-2x+$\frac{5}{4}$④相交于点A，
∴联立③④得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=\frac{25}{36}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{8}}\\{y=\frac{25}{64}}\end{array}\right.$（舍），
∴A（$\frac{5}{3}$，$\frac{25}{36}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，线段的垂直平分线的判定和性质，解本题的关键是灵活运用勾股定理．