Question

14．直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax²（a≠0）的两个交点的横坐标分别是x₁和x₂，且直线与x轴交点的横坐标是x₃，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{3}}$的值．

Answer 1

分析 由题意x₃=-$\frac{b}{k}$，联立抛物线y=ax²（a＞0）与直线y=kx+b得ax²-kx-b=0推出x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{b}{a}$，推出 $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{k}{b}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$，由此即可得出结论．

解答 解：由题意x₃=-$\frac{b}{k}$，联立抛物线y=ax²（a＞0）与直线y=kx+b得ax²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{k}{b}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{3}}$=0．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，体现了数形结合的数学思想．