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    如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

    （1）如果AB=AC，∠BAC=90度．
    ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
    ②当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立为什么（要求写出证明过程）
    （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．且∠BCA=45°时，
    ①请你判断线段CF、BD之间的位置关系，并说明理由（要求写出证明过程）．
    ②若AC=4，CF=3．求正方形ADEF的边长（要求写出计算过程）．
    【答案】分析：（1）①根据正方形的边相等，得AD=AF，根据正方形的角是直角，得∠BAD=∠CAF，再根据SAS证明△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质进行分析；
    ②和①中的证明思路类似，只是证明夹角的时候，是直角加上公共的一部分；
    （2）作辅助线，构造和（1）中类似的图形进行证明；作构造的等腰直角三角形底边上的高，结合全等三角形的性质以及等腰三角形的三线合一求得AD所在的直角三角形的两条直角边，然后根据勾股定理进行计算．
    解答：解：（1）①垂直，相等．
    ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
    证明：∵正方形ADEF，
    ∴AD=AF，∠DAF=90°，
    ∵∠DAF=∠BAC，
    ∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
    即：∠DAB=∠FAC，
    ∵AB=AC，AD=AF，
    ∴△DAB≌△FAC，
    ∴CF=BD，∠ACF=∠B，
    ∵∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠ABC=45°，
    ∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，
    即CF⊥BD．

    （2）①当∠BCA=45°，CF⊥BD，如图丙
    证明：过点A作AG⊥AC于A交BC于点G，
    ∴∠AGC+∠ACG=90°，
    ∵∠ACG=45°，
    ∴∠AGC=∠ACG=45°，
    ∴AC=AG，
    与（1）②同理，CF⊥GD，即CF⊥BD．
    ②解：过点A作AH⊥BC于点H，
    与（1）②同理，CF⊥GD，
    ∵AC=AG，AC=4，CF=3，
    ∴GD=3，AG=4，
    ∴在Rt△ACG中，GC==8，
    ∴CD=GC-GD=5，
    ∵AC=AG，AH⊥GC，
    ∴GH=CH=GC=4，
    ∴DH=CD-CH=1，
    ∵在Rt△ACG中，GH=CH，
    ∴AH=GC=4，
    ∴在Rt△ADH中，
    AD=．
    点评：在做一题多变的时候，思路是相通的，能够把较为复杂的情况和简单情况建立联系进行解决．
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    如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
    解答下列问题：
    （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
    ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为
     
    ，数量关系为
     
    ．
    ②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
    （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
    试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
    （3）若AC=4
    		2
    ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    27、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
    （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
    ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为
    垂直
    ，数量关系为
    相等
    ．
    ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
    （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、（1）如图甲，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则BD与CD相等吗？请说明理由；
    （2）若将图甲变为图乙，其他条件不变，则BD与CD仍相等吗？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图甲，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°．
    （1）求∠NMB的大小．
    （2）如图乙，如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．
    （3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．
    （4）如图丙，将（1）中的∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°．
    解答下列问题：
    （1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为
    垂直
    垂直
    ，数量关系为
    相等
    相等
    ．
    （2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（要求写出证明过程）

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