Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线交于另一点.已知，.

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1，若点是轴下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴于点，为直线上一点，且.点为第四象限内一点，且在直线上方，连接、、.记，.当取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时的最小值.

（3）如图2，将点沿直线方向平移13个长度单位到点，过点作轴，交抛物线于点.动点为轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点、、、在同一平面内），连接、、，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）抛物线： 直线： （2） （3）

【解析】

（1）求出点A,B,C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线与直线的解析式；

（2）设点，对称轴为：，根据相似三角形的判定方法得到与相似，根据相似三角形的性质得到，根据二次函数的性质即可求出取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时的最小值.

（3）分三种情况进行讨论即可.

（1）令

.

又

把点A、B分别代入中，得

解得：

把点A代入直线中，得

，

抛物线的解析式为：，

直线的解析式为：

（2）设点，对称轴为：，由题意，当点在对称轴左侧时的值一定小于点在对称轴右侧时的值，所以.

令

作轴交直线与点,则与相似。

所以

当时，.此时，点.

此时点，.

把绕点逆时针旋转60度，得.

此时

当点、、、共线时，取最小值.

作，则,，

，

的最小值为

（3）