Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于D，AF⊥BD于F，CM⊥AC交AF的延长线于M，AM交BC于E．
（1）求证：FA=FE；
（2）求证：DE=CM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）由角平分线的性质及垂直的性质就可以得出△AFB≌△EFB，就可以得出结论，
（2）由垂直的性质就可以得到∠ACM=90°，再由∠EBD=∠CAM可以得出△BDA≌△AMC，依此可以得出结论．

解答：证明：（1）∵BD平分∠ABC交，
∴∠ABD=∠EBD．
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠EFB=90°，
在△AFB和△EFB中，

∠ABD=∠EBD BF=BF ∠AFB=∠EFB

，
∴△AFB≌△EFB（ASA）
∴FA=FE；
（2）∵△AFB≌△EFB，
∴∠BAF=∠BEF，AB=EB．
∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAF=∠ABF．
在△ABD和△EBD中，

AB=EB ∠ABD=∠EBD BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD=DE．
∵CM⊥AC，
∴∠ACM=∠BAD=90°．
在△BDA和△AMC中，

∠ABF=∠DAF AB=CA ∠DAB=∠MCA

，
∴△BDA≌△AMC（ASA），
∴AD=CM，
∴DE=CM．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．